LESSON 2.2 · UNIT Ⅴ-2
2.2

정다면체와 회전체

Regular Solids & Solids of Revolution

우주에 단 5개뿐인 정다면체와, 한 직선을 축으로 평면이 일어서 만드는 회전체.

HOOK

왜 정다면체는 5개뿐인가?

모든 면이 합동인 정다각형이고, 모든 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 같은 입체도형 — 이런 조건을 모두 만족하는 입체를 정다면체라 부릅니다. 평면도형에서는 정삼각형·정사각형·…·정$n$각형으로 무한히 많지만, 입체에서는 단 5개뿐입니다.

이 다섯 가지는 고대 그리스 시대부터 알려진 플라톤의 입체(Platonic solids)입니다. 그 비밀은 — 한 꼭짓점에 모이는 각들의 합이 $360\degree$보다 작아야 평평하게 펴지지 않고 입체가 만들어진다는 단순한 사실에 있습니다.

"정다면체가 다섯 가지뿐이라는 것은 유클리드 원론의 마지막 정리이다." — Euclid, Elements Book XIII

5 PLATONIC SOLIDS

다섯 가지 정다면체

DEFINITION 01

정다면체: 다음 두 조건을 모두 만족하는 다면체.

① 모든 면이 합동인 정다각형이다.
② 한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 모두 같다.

정사면체
Tetrahedron
4F
6E
4V
면: 정삼각형 · 한 꼭짓점에 3면
정육면체
Cube · Hexahedron
6F
12E
8V
면: 정사각형 · 한 꼭짓점에 3면
정팔면체
Octahedron
8F
12E
6V
면: 정삼각형 · 한 꼭짓점에 4면
정십이면체
Dodecahedron
12F
30E
20V
면: 정오각형 · 한 꼭짓점에 3면
정이십면체
Icosahedron
20F
30E
12V
면: 정삼각형 · 한 꼭짓점에 5면
오일러 공식 확인

5종 모두 $V - E + F = 2$를 만족합니다.

정사면체: $4 - 6 + 4 = 2$ ✓ · 정육면체: $8 - 12 + 6 = 2$ ✓
정팔면체: $6 - 12 + 8 = 2$ ✓ · 정십이면체: $20 - 30 + 12 = 2$ ✓ · 정이십면체: $12 - 30 + 20 = 2$ ✓

WHY ONLY 5?

왜 단 5개뿐일까?

핵심 원리는 매우 간단합니다 — 한 꼭짓점에 모이는 면들의 내각의 합이 $360\degree$보다 작아야 입체가 만들어집니다. 만약 정확히 $360\degree$이면 평평하게 펴지고, $360\degree$보다 크면 면이 겹쳐서 입체가 안 됩니다.

CRITERION
한 꼭짓점에 모이는 면들의 내각의 합 $< 360\degree$
한 꼭짓점에 최소 $3$개의 면이 모여야 한다.
가능한 경우 분석

정삼각형(60°): 3면 모이면 180° → 정사면체, 4면 → 240° → 정팔면체, 5면 → 300° → 정이십면체. 6면 모이면 360° 정확히 → 평면이 되어 입체 X.

정사각형(90°): 3면 모이면 270° → 정육면체. 4면 모이면 360° 정확히 → 평면이 됨.

정오각형(108°): 3면 모이면 324° → 정십이면체. 4면 모이면 432° → $360°$ 초과 → 불가.

정육각형(120°): 3면 모이면 360° 정확히 → 평면. → 불가.

따라서 가능한 경우는 정확히 5가지뿐.

SOLIDS OF REVOLUTION

회 전체

DEFINITION 02

회전체(solid of revolution): 한 평면도형을 한 직선($l$)을 축으로 하여 1바퀴 회전시켜 만든 입체도형.

이때 그 직선 $l$을 회전축, 회전체에서 회전축 위에 있지 않은 옆면을 이루는 선을 모선이라 한다.

→
원기둥
직사각형을 한 변을 축으로 회전
→
원뿔
직각삼각형을 한 직각변을 축으로 회전
→
원뿔대
사다리꼴을 평행한 두 변 중 하나를 축으로 회전
→
구
반원을 지름을 축으로 회전

회전체의 단면

두 가지 중요한 단면

① 회전축에 수직인 단면: 단면은 항상 원이다. (회전체이기 때문)

② 회전축을 포함하는 단면: 단면은 회전축에 대해 선대칭인 도형이다. — 원기둥은 직사각형, 원뿔은 이등변삼각형, 원뿔대는 등변사다리꼴, 구는 원.

INTERACTIVE

회전체 단면 보기

도형을 선택하면 회전체의 두 가지 단면을 동시에 볼 수 있습니다.

CROSS-SECTION VIEWER
회전축에 수직인 단면

원

회전축을 포함하는 단면

직사각형

QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01
수치 입력
정육면체의 한 면은 정사각형이다. 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수는?
개
Q-02
선택형
정팔면체의 한 면의 모양은?
Q-03
선택형
직사각형을 한 변을 축으로 회전시켜 만든 회전체는?
Q-04
선택형
회전체를 회전축에 수직으로 자른 단면의 모양은 항상?
Q-05
O/X
정다면체의 종류는 모두 $5$가지뿐이다.
WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01
한 면이 정삼각형이고, 한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 $5$개인 정다면체는 무엇인가? 또 그 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 구하시오.
면이 정삼각형이면서 한 꼭짓점에 5개의 면이 모이는 정다면체는 정이십면체.
면 $F = 20$, 모서리 $E = 30$, 꼭짓점 $V = 12$.
검산: $V - E + F = 12 - 30 + 20 = 2$ ✓
▶ 정이십면체: $F=20$, $E=30$, $V=12$
EXAMPLE 02
직각을 낀 두 변의 길이가 각각 $3$, $4$인 직각삼각형을, 길이가 $4$인 변을 축으로 하여 1바퀴 회전시켰을 때 만들어지는 회전체의 종류와, 그 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면의 모양을 말하시오.
직각삼각형을 한 직각변을 축으로 회전 → 원뿔이 만들어진다.
회전축을 포함하는 단면은, 원뿔을 정확히 한가운데로 자른 모양 — 밑면의 지름을 한 변으로 하는 이등변삼각형.
밑면의 반지름 $= 3$이므로 지름 $= 6$. 따라서 이등변삼각형의 밑변은 $6$, 높이는 $4$.
▶ 회전체: 원뿔, 단면: 이등변삼각형 (밑변 $6$, 높이 $4$)
PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★
수치 입력
정육면체의 모서리의 개수는?
개
P-02 ★
선택형
정십이면체의 한 면의 모양은?
P-03 ★
선택형
반원을 지름을 축으로 회전시켜 만든 입체도형은?
P-04 ★★
수치 입력
정이십면체의 꼭짓점의 개수는?
개
P-05 ★★
선택형
한 면이 정삼각형이면서 한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 $4$개인 정다면체는?
P-06 ★★
선택형
원기둥을 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면의 모양은?
P-07 ★★★
선택형
정육면체와 정팔면체는 다음 관계가 있다. 정육면체의 각 면의 중심을 꼭짓점으로 연결하면 정팔면체가 된다. 이때 정팔면체의 꼭짓점의 개수와 정육면체의 면의 개수의 관계는?
P-08 ★★★
선택형
다음 중 한 평면도형을 한 직선을 축으로 회전시켜 만들 수 없는 입체도형은?
WRAP-UP

2.2 정다면체와 회전체 — 핵심 정리

정다면체는 우주에 단 5종 — 한 꼭짓점에서의 각도 합이 $360\degree$보다 작아야 하기 때문. 회전체는 평면도형을 직선으로 돌려 만든 입체로, 두 가지 단면이 핵심.

POINT 1

정다면체 5종: 정사·정육·정팔·정십이·정이십면체

POINT 2

모든 정다면체에서 $V-E+F=2$

POINT 3

회전체: 직사각형→원기둥, 직각삼각형→원뿔, 사다리꼴→원뿔대, 반원→구

POINT 4

단면: 회전축에 수직 = 원, 회전축 포함 = 선대칭 도형

↑ Ⅴ-2. 입체도형 차례로